4. Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình www.saosangsong.com.vn 4 Chia hai vế cho x + 5 > 0 , ta được bất đẳng thức : x 4 1 x 5 6 − ≤ + ( đpcm) Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương bằng cách nhân hai vế cho x + 5 > 0 rồi chuyển vế như trong dạng toán 1. c) Ta có Nghiệm của các bất phương trình dạng ax + by > c, ax + by ≤ c, ax + by ≥ c cũng được định nghĩa tương tự. Ví dụ: Xét bất phương trình x + 2y < 1. Khi thay x = 0, y = -1 vào vế trái của bất phương trình này thì vế trái có giá trị nhỏ hơn vế phải của nó, vậy bộ hai số (x; y) = (0; -1) là một nghiệm của bất Tìm m để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung. - Cách giải: + B1: Tìm điều kiện của m để 2 phương trình cùng có nghiệm. + B2: Giả sử x 0 là nghiệm chung của 2 phương trình. Tìm x 0. + B3: Thế x 0 tìm được vào một trong hai phương trình tìm m. + B4: Đối chiếu m tìm a. Hãy chúng minh phương trình có nghiệm với mọi m. b. Gọi x1, x2 là nghiệm của ph.trình, tìm m để x1^2 + x2^2 có GTNN. Bài viết trên là một số Bài tập hệ thức Viet và lời giải chi tiết. Nếu có câu hỏi về nội dung bài viết hoặc chủ đề cần giải đáp, hãy để lại phần Các bước xác định phương pháp chọn mẫu: Nắm rõ mục tiêu nghiên cứu, thường sẽ là sự kết hợp giữa chi phí, độ chính xác, rõ rang. Xác định các kĩ thuật chọn mẫu hiệu quả có khả năng Chú thích : Để tìm giá trị tính toán tgM và C của đất thuộc một lớp, cần phải có ít nhất 6 lần xác định W cho mỗi giá trị V đối với cùng một phương pháp thí nghiệm. 1.6. Các phương pháp xác định sức chống cắt cần phải được quy định trong từng trường hợp cụ 4319. Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất lớp 9 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả đề Hệ phương trình lớp 9Toán nâng cao lớp 9 Chủ đề 5 Hệ phương trìnhCác dạng hệ phương trình đặc biệtBài tập về hệ hai phương trình bậc nhất một ẩn được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và tổng hợp các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi Nhắc lại về điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất+ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất khi với các hệ số a, b, a’, b’ khác 0 thì II. Bài tập tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhấtBài 1 Tìm m để hệ phương trình 3x - 2y = m + 3 và m - 5x + 3y = 6 có nghiệm duy nhấtLời giảiTa có Để hệ phương trình có nghiệm duy nhấtVậy với thì hệ phương trình có nghiệm duy nhấtBài 2 Tìm m để hệ phương trình m + 2x + m+2y = 3 và x + 3y = 4 có nghiệm duy nhấtLời giảiTa có Để hệ phương trình có nghiệm duy nhấtVậy với thì hệ phương trình có nghiệm duy nhấtIII. Bài tập tự luyện tìm m để hệ phương trình có nghiệmTìm các giá trị của m để các hệ phương trình dưới đây có nghiệm duy nhất1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, -Trên đây VnDoc đã hướng dẫn các bạn chuyên đề tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Toán lớp 9. Hy vọng đây là tài liệu hữu ích giúp các bạn làm quen với nhiều dạng Toán khác nhau, từ đó chuẩn bị tốt cho kì thi học kì 2 lớp 9 cũng như kì thi vào lớp 10 sắp tới đạt kết quả giúp bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa, mời các bạn học sinh tham khảo thêm tài liệu về các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!Tham khảo thêmĐề thi học kì 2 Toán 9 phòng GD&ĐT Ba Đình, Hà Nội năm học 2022 - 2023Đề thi học kì 2 Toán 9 Sở GD&ĐT Bình Dương năm 2022 - 2023Đề thi học kì 2 Toán 9 Sở GD&ĐT Vĩnh Long năm 2022 - 2023Tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau hoặc vuông góc với nhauTìm m để d cắt P tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 9/2 Bài viết hướng dẫn phương pháp xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ứng dụng bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán về kinh tế và đời LÝ THUYẾT CẦN NẮM VỮNG 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn a Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm. • Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$, $y$ là bất phương trình có một trong các dạng $ax+by+c0$, $ax+by+c\le 0$, $ax+by+c\ge 0$ trong đó $a$, $b$, $c$ là những số thực đã cho, $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$; $x$ và $y$ là các ẩn số. • Mỗi cặp số $\left {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right$ sao cho $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+cc$, $ax+by\le c$, $ax+by\ge c$ cũng được định nghĩa tương tự. • Trong mặt phẳng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm, ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình. b Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. • Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng $\left d \rightax+by+c=0$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng, một trong hai nửa mặt phẳng ấy không kể bờ $d$ gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình $ax+by+c>0$, nửa mặt phẳng còn lại không kể bờ $d$ gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình $ax+by+c0$ thì nửa mặt phẳng không kể bờ $d$ không chứa điểm $M$ là miền nghiệm của bất phương trình $ax+by+c\frac{2x+y+1}{3}.$a Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $\left d \right\text{ 2}x-y=0$, ta có $\left d \right$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm$M\left 1;0 \right$, ta thấy $1; 0$ là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ $d$ và chứa điểm $M\left 1;0 \right$ miền không được tô màu trên hình vẽ.b Ta có $\frac{x-2y}{2}>\frac{2x-y+1}{3}$ $\Leftrightarrow 3\left x-2y \right-2\left 2x-y+1 \right>0$ $\Leftrightarrow -x-4y-2>0$ $\Leftrightarrow x+4y+20 \\ & 2x-3y+6>0 \\ & x-2y+1\ge 0 \\ \end{align} \right.$a Vẽ các đường thẳng $\left d \rightx+y-2=0$, $\left d’ \rightx-3y+3=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Xét điểm $\text{O}\left 0;0 \right$, thấy $\left 0;0 \right$ không phải là nghiệm của bất phương trình $x+y-2\ge 0$ và $x-3y+3\le 0.$ Do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $\left d \right$ và $\left d’ \right.$b Vẽ các đường thẳng $\left d \rightx+y=0$, $\left d’ \right2x-3y+6=0$ và $\left d” \rightx-2y+1=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Xét điểm $\text{O}\left 0;0 \right$, thấy $\left 0;0 \right$ là nghiệm của bất phương trình $2x-3y+6>0$ và $x-2y+1\ge 0.$ Do đó $\text{O}\left 0;0 \right$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x-3y+6>0$ và $x-2y+1\ge 0.$ Xét điểm $M\left 1;0 \right$ ta thấy $\left 1;0 \right$ là nghiệm của bất phương trình $x+y>0$ do đó điểm $M\left 1;0 \right$ thuộc miền nghiệm bất phương trình $x+y>0.$ Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả đường thẳng $\left d” \right.$Ví dụ 3. Xác định miền nghiệm bất phương trình $\left x-y \right\left {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right\ge 0.$Ta có $\left x-y \right\left {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right\ge 0$ $\Leftrightarrow \left x-y \right\left x+y \right\left {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right\ge 0$ $\Leftrightarrow \left x-y \right\left x+y \right\ge 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-y\ge 0 \\ x+y\ge 0 \\ \end{matrix} \right.$ $1$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} x-y\le 0 \\ x+y\le 0 \\ \end{matrix} \right.$ $2.$ Như vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho là gồm hai miền nghiệm của hệ bất phương trình $1$ và $2.$ Vẽ các đường thẳng $\left d \rightx+y=0$, $\left d’ \rightx-y=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Xét điểm $M\left 1;0 \right$, ta có $\left 1;0 \right$ là nghiệm của các bất phương trình của hệ $1$ do đó $M\left 1;0 \right$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $1.$ Xét điểm $N\left -1;0 \right$, ta có $\left -1;0 \right$ là nghiệm của các bất phương trình của hệ $2$ do đó $N\left -1;0 \right$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $2.$ Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $\left d \right$, $\left d’ \right.$ [ads] Dạng toán 2. Ứng dụng bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán về kinh tế. Phương pháp giải toán • Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất có liên quan chặt chẽ đến quy hoạch tuyến tính, đó là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế. • Ta thừa nhận kết quả sau “Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức $P\left x;y \right=ax+by$ $\left b\ne 0 \right$ trên miền đa giác lồi kể cả biên đạt được tại một đỉnh nào đó của đa giác”.Ví dụ 4. Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho $1$ phút quảng cáo trên sóng phát thanh là $ đồng, trên sóng truyền hình là $ đồng. Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là $5$ phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là $4$ phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp $6$ lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa $ đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?Phân tích bài toán Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là $x$ phút, trên truyền hình là $y$ phút. Chi phí cho việc quảng cáo là $ đồng. Mức chi này không được phép vượt quá mức chi tối đa, tức là $ hay $x+\text{ 5}y-20\le \text{0}.$ Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có$x\ge 5$, $y\le 4.$ Đồng thời do $x$, $y$ là thời lượng nên $x\ge 0$, $y\ge 0$. Hiệu quả chung của quảng cáo là $x+6y.$ Bài toán trở thành Xác định $x$, $y$ sao cho $M\left x;y \right=x+6y$ đạt giá trị lớn nhất. Với các điều kiện $\left\{ \begin{align} & x+\text{5}y-20\le \text{0} \\ & x\ge 5 \\ & 0\le y\le 4 \\ \end{align} \right.$ $*.$ Trước tiên ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình $*.$ Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng $\left d \rightx+5y-20=0$, $\left d’ \rightx=5$, $\left d” \righty=4.$ Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình $*$ là phần mặt phẳng tam giác không tô màu trên hình trị lớn nhất của $M\left x;y \right=x+6y$ đạt tại một trong các điểm $\left 5;3 \right$, $\left 5;0 \right$, $\left 20;0 \right.$ Ta có $M\left 5;3 \right=23$, $M\left 5;0 \right=5$, $M\left 20;0 \right=20$ suy ra giá trị lớn nhất của $M\left x;y \right$ bằng $23$ tại $\left 5;3 \right.$ Vậy nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là $5$ phút và trên truyền hình là $3$ phút thì sẽ đạt hiệu quả dụ 5. Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại $I$ cần $2$kg nguyên liệu và $30$ giờ, đem lại mức lợi nhuận $40000$ đồng. Mỗi kg sản phẩm loại $II$ cần $4$kg nguyên liệu và $15$ giờ, đem lại mức lợi nhuận $30000$ đồng. Xưởng có $200$kg nguyên liệu và $120$ giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lợi nhuận cao nhất?Phân tích bài toán Gọi $x$ $x\ge 0$ là số kg loại $I$ cần sản xuất, $y$ $y\ge 0$ là số kg loại $II$ cần sản xuất. Suy ra số nguyên liệu cần dùng là $2x+4y$, thời gian là $30x+15y$, có mức lợi nhuận là $40000x+30000y.$ Theo giả thiết bài toán xưởng có $200$kg nguyên liệu và $120$ giờ làm việc suy ra $2x+4y\le 200$ hay $x+2y-100\le 0$, $30x+15y\le 1200$ hay $2x+y-80\le 0.$ Bài toán trở thành Tìm $x$, $y$ thoả mãn hệ $\left\{ \begin{align} & x+2y-100\le 0 \\ & 2x+y-80\le 0 \\ & x\ge 0 \\ & y\ge 0 \\ \end{align} \right.$ $*$ sao cho $L\left x;y \right=40000x+30000y$ đạt giá trị lớn nhất. Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng $\left d \rightx+2y-100=0$, $\left d’ \right2x+y-80=0.$ Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình $*$ là phần mặt phẳng tứ giác không tô màu trên hình trị lớn nhất của $L\left x;y \right=40000x+30000y$ đạt tại một trong các điểm $\left 0;0 \right$, $\left 40;0 \right$, $\left 0;50 \right$, $\left 20;40 \right$. Ta có $L\left 0;0 \right=0$, $L\left 40;0 \right=1600000$, $L\left 0;50 \right=1500000$, $L\left 20;40 \right=2000000$ suy ra giá trị lớn nhất của $L\left x;y \right$ là $2000000$ khi $\left x;y \right=\left 20;40 \right.$ Vậy cần sản xuất $20$ kg sản phẩm loại $I$ và $40$ kg sản phẩm loại $II$ để có mức lợi nhuận lớn BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. ĐỀ BÀI Bài toán 1. Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau a $x-3y\ge 0.$ b $\frac{x-y}{-2}0 \\ & 2x-3y-6\le 0 \\ & x-2y+3\le 0 \\ \end{align} \right.$Bài toán 3. Một công ty cần thuê xe vận chuyển $140$ người và $9$ tấn hàng hóa. Nơi cho thuê xe chỉ có $10$ xe hiệu MITSUBISHI và $9$ xe hiệu FORD. Một chiếc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở $20$ người và $0,6$ tấn hàng. Một chiếc xe hiệu FORD có thể chở $10$ người và $1,5$ tấn hàng. Tiền thuê một xe hiệu MITSUBISHI là $4$ triệu đồng, một xe hiệu FORD là $3$ triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất?Bài toán 4. Nhân dịp tết Trung Thu, Xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh Đậu xanh, Bánh dẻo nhân đậu xanh. Để sản xuất hai loại bánh này, Xí nghiệp cần Đường, Đậu, Bột, Trứng, Mứt, … Giả sử số đường có thể chuẩn bị được là $300$kg, đậu là $200$kg, các nguyên liệu khác bao nhiêu cũng có. Sản xuất một cái bánh đậu xanh cần $0,06$kg đường, $0,08$kg đậu và cho lãi $2$ ngàn đồng. Sản xuất một cái bánh dẻo cần $0,07$kg đường, $0,04$kg đậu và cho lãi $1,8$ ngàn đồng. Cần lập kế hoạch để sản xuất mỗi loại bánh bao nhiêu cái để không bị động về đường, đậu và tổng số lãi thu được là lớn nhất nếu sản xuất bao nhiêu cũng bán hết?2. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Bài toán 1. a Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $\left d \rightx-3y=0$. Ta thấy $1; 0$ là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ $d$ và chứa điểm $M\left 1;0 \right$ miền không được tô màu trên hình vẽ.b Ta có $\frac{x-y}{-2}0$ $\Leftrightarrow 3x+y+2>0.$ Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $\Delta 3x+y+2=0.$ Xét điểm $\text{O}\left 0;0 \right$, ta thấy $\left 0;0 \right$ là nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ $\Delta $ không kể đường thẳng $\Delta $ và chứa điểm $\text{O}\left 0;0 \right$ miền không được tô màu trên hình vẽ.Bài toán 2. a Vẽ các đường thẳng $\left d \rightx+y-2=0$, $\left d’ \rightx-y+3=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Xét điểm $\text{O}\left 0;0 \right$, thấy $\left 0;0 \right$ là nghiệm của bất phương trình $x+y-20$ và $2x-3y-6\le 0.$ Do đó $\text{O}\left 0;0 \right$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x+y+2>0$ và $2x-3y-6\le 0.$ Xét điểm $M\left 0;3 \right$ ta thấy $\left 0;3 \right$ là nghiệm của bất phương trình $x-2y+3\le 0$ do đó điểm $M\left 0;3 \right$ thuộc miền nghiệm bất phương trình $x-2y+3\le 0.$ Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả đường thẳng $\left d’ \right$, $\left d” \right.$Bài toán 3. Gọi $x$, $y$ $x,y\in N$ lần lượt là số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần thuê. Từ bài toán ta được hệ bất phương trình $\left\{ \begin{align} & 0\le x\le 10 \\ & 0\le y\le 9 \\ & 20x+10y\ge 140 \\ & 0,6x+1,5y\ge 9 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 0\le x\le 10 \\ & 0\le y\le 9 \\ & 2x+y\ge 14 \\ & 2x+5y\ge 30 \\ \end{align} \right.$ $*.$ Tổng chi phí $T\left x,y \right=4x+3y$ triệu đồng. Bài toán trở thành là tìm $x$, $y$ nguyên không âm thoả mãn hệ $*$ sao cho $T\left x,y \right$ nhỏ nhất. Từ đó ta cần thuê $5$ xe hiệu MITSUBISHI và $4$ xe hiệu FORD thì chi phí vận tải là thấp toán 4. Gọi $x$, $y$ lần lượt là số cái bánh Đậu xanh, bánh Dẻo $x,y\in N$. Bài toán trở thành tìm số tự nhiên $x$, $y$ thoả mãn hệ $\left\{ \begin{align} & 6x+7y\le 30000 \\ & 2x+y\le 5000 \\ \end{align} \right.$ sao cho $L=2x+1,8y$ lớn nhất. Từ đó ta có $\left\{ \begin{align} & x=625 \\ & y=3750 \\ \end{align} \right.$ thì $L=2x+1,8y$ đạt giá trị lớn nhất. Vậy cần $625$ bánh đậu xanh và $3750$ bánh dẻo thì lợi nhuận lớn nhất. 1 Đã gửi 27-10-2013 - 0908 trandinhhuy Binh nhất Thành viên 35 Bài viết Định m để pt có 3 nghiệm phân biệt x³-2m+1x²+3m+4x-m-12=0 Định m để pt có 3 nghiệm dương phân biệt mx³-3m-4x²+3m-7x-m+3=0 2 Đã gửi 27-10-2013 - 0921 Hoang Tung 126 Thiếu tá Thành viên 2061 Bài viết Ta có $x^3-2m+1x^2+3m+4x-12=0 x-1x^2-2mx+m+12=0$ $= > x=1$ hoặc $x^2-2mx+m+12=0$ Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình $x^2-2mx+m+12=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1. -Với $x=1 1-2m+m+12=0 m=13$ $= > m$ khác 13. Để pt $x^2-2mx+m+12=0$ có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta =2m^2-4m+12> 0 m^2-m-12> 0 m+3m-4> 0 m> 4$ hoặc $m 4,$ $m$ khác 13

xác định m để hệ bất phương trình có nghiệm